各SNSアプリ内で提供されている楽曲の利用は問題ありません。

日本では、リリースされている楽曲の殆どを、JASRACやNexToneといった団体が著作権を管理しています。
TikTok・Instagram・YouTube等の動画投稿サイトの運営者は、これらの著作権管理団体と利用許諾契約を締結しているため、各SNSアプリ内で提供されている楽曲はショート動画のBGMとして使用することが可能です。
各SNSアプリ内の作成ツールで、TikTokであれば「楽曲を選ぶ」、Instagramのリールであれば「♬」、YouTubeショートであれば「サウンドを追加」をタップすると楽曲の一覧が表示されるので、その中から選曲した楽曲をBGMとして使用することができます。
但し、SNSによっては、個人アカウントとビジネスアカウントで提供される楽曲が異なりますので、ご注意ください。
各SNSアプリが提供している楽曲だからといって、CD音源をそのまま動画に使用して投稿するのは、原盤権の侵害にあたり、著作権の違反になりますので、必ずアプリ内で提供している音源を使用するようにしてください。
また、提供元ではない他のSNSでは使用できませんので、必ず提供元のSNSアプリ内でのみご使用ください。
ルールを守らずに運用すると、著作権違反に該当する動画が強制的に削除されたり、アカウント停止などのペナルティを受ける恐れがあります。
各SNSアプリ内で提供されている楽曲以外では、インターネット上で「BGM フリー」などのキーワードで検索すると著作権フリーの音楽素材サイトが複数存在しますので、そちらから音源をダウンロードして使用することも可能です。
サイト毎に利用規約が異なりますので、必ず利用する前に規約を確認の上、ルールに沿った運用を心掛けましょう。